零矩阵的特征值和特征向量 零矩阵的秩是多少

其实零矩阵的特征值和特征向量的问题并不复杂，但是又很多的朋友都不太了解零矩阵的秩是多少，因此呢，今天小编就来为大家分享零矩阵的特征值和特征向量的一些知识，希望可以帮助到大家，下面我们一起来看看这个问题的分析吧！

一、秩等于0的矩阵一定是零矩阵吗

1、向量组的秩等于零意味着这个矩阵是零矩阵。矩阵的秩等于0的充分必要条件是这个矩阵是零矩阵。

2、参照定理：对于每个矩阵A，fA都是一个线性映射，同时，对每个的线性映射f，都存在矩阵A使得f= fA。也就是说，映射是一个同构映射。所以一个矩阵A的秩还可定义为fA的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。

3、矩阵A称为fA的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为n减f的核的维度；秩－零化度定理声称它等于f的像的维度。

4、（1）m×n的零矩阵 O和 m×n的任意矩阵 A的和为 A+ O= O+ A= A，差为 A- O= A，O- A=-A。

5、（2）l×m的零矩阵 O和 m×n的任意矩阵 A的积 OA为 l×n的零矩阵。

6、（3）l×m的任意矩阵 B和 m×n的零矩阵 O的积 BO为 l×n的零矩阵。

二、矩阵A的秩为n,则该矩阵的零空间的维数是多少

1、假设A是nxn矩阵，那么r(A)=n说明A满秩。

2、零空间={x|Ax=0}，由于A满秩，故x只有零解，这是由定义推导的。

3、同样可以记一个式子：dim(null(A))+rank(A)=n

4、秩零化度定理声称任何矩阵的秩加上它的零化度等于这个矩阵的纵列数。对应于零奇异值的A的右奇异向量形成了A的零空间的基。

5、A的零空间可以用来找到和表达方程Ax=b的所有解(完全解)。如果 x1是这个方程的一个解，叫做特定解，那么方程的完全解等于它的特定解加上来自零空间的任何向量。特定解依b而变化，而零空间的向量不是。

三、矩阵的秩等于非零特征值的个数吗

1、此时存在可逆矩阵P满足 P^-1AP=对角矩阵

2、r(A)= r(P^-1AP)= r(对角矩阵)=非零特征值的个数

3、应该是可对角化的矩阵的秩等于非零特征值的个数，矩阵与其对角阵秩必然相等，对角阵的秩为非零特征值的个数。

4、根据这一定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换成行阶梯形矩阵，易见该矩阵最高阶非零子式的阶数。显然行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。这就给出求矩阵秩的方法。

5、（I）α1，α2，…，αsα1，α2，…，αs可以由。

6、（II）β1，β2，…，βtβ1，β2，…，βt线性表出，则r(II)≥r(I)r(II)≥r(I)。

7、解释为：能表出其他向量组，则其他向量组必然在自己的范围内，如果II的秩没有I大，则撑不起I张起的空间。这是很酷的一个定理。

8、r(A)= A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）= A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）。

四、两个矩阵相乘零矩阵,秩的关系

1、第一种是用分块矩阵乘法来证明。(不太好书写，可以见线性代数习题册答案集)；

2、第二种是线性方程组的解的关系来证明。

3、因为AB=0，所以B的每一列都是线性方程组AX=0的解。而根据线性方程组理论，AX=0的基础解系中线性无关的解的个数（或者说解空间的维数）≤ n-r(A)。而B的列向量组是解空间的一部分，所以B的列向量组中的极大线性无关组中的向量个数(就是秩r(B))一定≤基础解系中线性无关的解的个数，也就是≤ n-r(A)，所以r(B)≤ n-r(A)，从而r(A)+r(B)<=n。

五、零矩阵的秩是0么

1、零矩阵的秩是0，非零矩阵的秩>0。

2、在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rankA。

3、在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。行秩是A的线性无关的横行的极大数目。如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

4、(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵；

5、m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。

6、设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

7、在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

8、例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。

9、参考资料：百度百科——矩阵的秩

好了，文章到此结束，希望可以帮助到大家。

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