考研数学真题，考研数学真题从哪一年开始做比较好
大家好！本文和大家分享一道2021年新高考二卷的数学真题。这道题考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、充要条件的证明等知识。这道题还是有一定的难度，要得满分还是不容易的。
先看第一小问：求椭圆C的标准方程。
要求椭圆C的标准方程，只需要求出a、b的值即可。
由于椭圆C的右焦点F的坐标为(√2,0)，所以有c=√2，即a^2-b^2=c^2=2。
又由于椭圆C的离心率为√6/3，则有c/a=√6/3，从而得到a=√3，所以b^2=a^2-c^2=3-2=1。这样就得到了椭圆的标准方程。
再看第二小问：证明M、N、F三点共线的充要条件为 MN =√3。
要证明充要条件，那么既要证明充分性，也要证明必要性。
先证明必要性，也就是证明由M、N、F三点共线可以得到 MN =√3。要求 MN 的值，且点M、N在椭圆C上，所以可以用弦长公式来求解。而用弦长公式，首先就需要先表示出直线MN的方程，再与椭圆C的方程联立。
由于直线MN与曲线x^2+y^2=b^2(x＞0)相切，那么结合椭圆C的方程可知直线MN的斜率肯定不为零。又M、N、F三点共线，所以可以设直线MN的方程为x=my+√2。这样设的好处就是不需要再分类讨论直线MN斜率不存在的情况了，从而简化了计算。
由于直线MN与曲线x^2+y^2=b^2(x＞0)相切，所以圆心(0,0)到直线MN的距离就等于圆的半径b，即1。于是用点到直线的距离公式就可以解得m^2=1。
接下来根据对称性可假设m=1，这样就得到了直线MN的方程，然后联立直线MN和椭圆C的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，然后用弦长公式即可求出 MN 的值。
再证明充分性，即证明由 MN =√3推出M、N、F三点共线。要证明三点共线，我们可以先求出直线MN的方程，再证明点F在直线MN上即可。要求直线MN的方程，就需要利用 MN 的值来解决。
根据前面的分析知直线MN的斜率不为零，所以设直线MN的方程为x=my+n，其中n＞0。由直线MN与曲线x^2+y^2=b^2相切，则圆心到直线MN的距离为1，从而得到n^2-m^2=1。
然后联立直线MN和椭圆C的方程，消去x得到一个关于y的一元二次方程，再用弦长公式得到 MN 的长，从而解得m^2=1，于是n=√2，所以点F(√2,0)在直线MN上，即点M、N、F三点共线。
这道题还是有一定难度，你学会了吗？
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